La algebralise avaldise faktoriseerimine See on protseduur, mille abil nimetatud avaldis kirjutatakse lihtsamate tegurite korrutisena. Teisisõnu polünoomide faktoriseerimisel, eesmärk on leida termineid, mis korrutatuna annavad tulemuseks sama algebralise päritoluavaldise.
See protsess on algebras ülimalt oluline, kuna see võimaldab võrrandeid lihtsustada ja muuta palju paremini hallatavaks. Lisaks on polünoomi faktoriseerimisel üks olulisemaid eesmärke esitada seda kui teiste madalama astme polünoomide korrutis.
Kontseptsiooni paremaks mõistmiseks vaatleme põhinäidet:
Algebraline avaldis: x(x + y)
Korrutades selle avaldise tingimused, saame:
x2 +xy
Sellel viisil: x(x + y) = x2 +xy
La faktooring See on kasulik mitte ainult seetõttu, et see lihtsustab probleemide lahendamist, vaid võimaldab teil tuvastada algebralise avaldise tingimuste omadusi ja seoseid.
Ühine tegur
Enne faktoriseerimise tehnikatega alustamist on oluline mõista, mida see termin tähendab. ühine tegur. Otsides polünoomi seest ühistegurit, püüame tuvastada termini, mis kordub avaldise kõigis terminites, võimaldades meil seda lihtsustada.
Siiski on oluline märkida, et faktooring ei ole alati võimalik. Faktoriseerimiseks peab olema vähemalt üks ühine termin, millega töötada. Vastasel juhul ei saa seda veelgi lihtsustada.
Näiteks väljendis:
xa + yb + zc
Ei ole ühtegi ühine tegur terminite vahel, seega ei saa faktoriseerimist läbi viia.
Vaatame teist juhtumit, kus see on teostatav:
a2x + a2y
Ühine tegur on siin a2. Lihtsuse huvides jagame mõlemad terminid selle ühise teguriga:
- a2x on jagatud a-ga2, mis annab x
- a2y on jagatud a-ga2, mida see annab ja
Lõpuks on faktorite avaldis järgmine:
a2(x+y)
Ühisteguri kasutamine polünoomide faktoriseerimisel
Paljudel juhtudel on mõnel polünoomi liikmel a ühine tegur, samas kui teised seda ei tee. Nende stsenaariumide puhul tuleks teha a terminite rühmitamine, nii et rühmitatud terminitel on ühine tegur.
Näiteks väljendis:
xa + ya + xb + yb
Saame terminid rühmitada erineval viisil:
(xa + ya) + (xb + yb)
Kui analüüsime rühmitatud termineid, võime täheldada igas rühmas ühist tegurit:
a(x + y) + b(x + y)
Lõpuks saame avaldise arvesse võtta järgmiselt:
(x + y) (a + b)
Seda tehnikat nimetatakse rühmitamise faktoriseerimiseks ja see võimaldab teil polünoome lihtsustada isegi siis, kui kõigil terminitel ei ole sama ühistegurit. Tuleb märkida, et rühmitamiseks on rohkem kui üks viis ja tulemus on alati sama. Näiteks oleksime võinud samal juhul terminid rühmitada järgmiselt:
(xa + xb) + (ya + yb)
Mis viib jällegi selleni, et:
x(a + b) + y(a + b)
Lõpuks saame sama tulemuse:
(a + b) (x + y)
Seda protsessi toetab kommutatiivne seadus, mis ütleb, et tegurite järjekord ei muuda lõpptoodet.
Täiustatud meetodid: Faktoring, kasutades märkimisväärseid tooteid
Polünoomide faktoriseerimiseks on ka teisi meetodeid, sealhulgas tähelepanuväärsed tooted. Kõige tavalisemad tähelepanuväärsed tooted on täiuslik ruudukujuline kolmik ja trinoom kujul x2 + b x + c. On ka teisi tähelepanuväärseid tooteid, kuid neid kasutatakse pigem binoomnumbrite puhul.
Täiuslik nelinurkne kolmiknurk
Un täiuslik ruudukujuline kolmik See on kolmest liikmest koosnev polünoom, mis on binoom ruudustamisel. Reegel ütleb, et protsess järgib järgmist struktuuri: esimese liikme ruut pluss kaks korda esimene liige korda teine liige, pluss teise liikme ruut.
Täiusliku ruudu trinoomi arvutamiseks toimime järgmiselt.
- Eraldame esimese ja kolmanda liikme ruutjuure.
- Eraldame juured märgiga, mis vastab teisele liikmele.
- Teeme moodustunud binoomi ruudu.
Vaatame näitena:
4a2 – 12ab + 9b2
- ruutjuur 4a2: 2a
- ruutjuur 9b-st2: 3b
Trinoom arvutatakse järgmiselt:
(2a–3b)2
Vormi x kolmiknurk2 + b x + c
Seda tüüpi trinoomil on spetsiifilised omadused, mis võimaldavad seda hõlpsamini arvesse võtta. Et selle vormi trinoom oleks faktoriseeritav, peab see vastama järgmistele kriteeriumidele:
- Esimese ametiaja koefitsient peab olema 1.
- Esimene liige peab olema ruudus muutuja.
- Teisel liikmel on sama muutuja, kuid see ei ole ruudus (selle astendaja on 1).
- Teise liikme koefitsient võib olla positiivne või negatiivne.
- Kolmas termin on arv, mis ei ole eelmistega otseselt seotud.
Selle faktorijaotuse näide oleks järgmine kolmik:
x2 +9x +14
Selle arvessevõtmiseks järgige järgmist protsessi:
- Jagame trinoomi kaheks binoomiks.
- Iga binoomi esimene liige on trinoomi esimese liikme ruutjuur (antud juhul “x”).
- Binoomide märgid määratakse trinoomi teise ja kolmanda suuruse järgi (antud juhul positiivne).
- Otsime kahte arvu, mille korrutamisel saadakse 14 ja liitmisel 9 (valikud on 7 ja 2).
Sel viisil on faktoriline trinoom:
(x+7) (x+2)
Lisameetodid: Faktorteoreem ja Ruffini reegel
El teguri teoreem väidab, et polünoom jagub polünoomiga kujul (x – a), kui esialgset polünoomi x = a korral hinnates on tulemuseks 0. See teoreem on kasulik polünoomide juurte leidmiseks ja muudab faktoringu lihtsamaks. Seda kasutatakse sageli koos Ruffini reegel, lihtsustatud meetod polünoomide jagamiseks.
Need tööriistad on eriti kasulikud 3. või kõrgema astme polünoomidega töötamisel, kus pole võimalik rakendada lihtsaid meetodeid, näiteks täiuslikku ruudukujulist trinoomi või märkimisväärseid tooteid.
Lõpetuseks on oluline märkida, et kõiki polünoome ei saa lihtsalt arvesse võtta. Mõnel juhul on polünoomi juurte leidmiseks vaja kasutada keerukamaid meetodeid või numbrilisi tehnikaid. Enamikke algebras leiduvaid näiteid saab nende tööriistade abil siiski lahendada.
Faktoring on algebras võimas tööriist, kuna see võimaldab lihtsustada keerulisi avaldisi ja lahendada võrrandeid tõhusamalt. Valdades erinevaid polünoomide faktooringu meetodeid, saame rakendada kiiremaid ja tõhusamaid lahendusi väga erinevatele probleemidele.